许多数理方法教材缺少，但又很重要的一部分。参考了杨孔庆老师的《数学物理方法》。 数理方程部分内容太多，将择时整理上传。

原子核物理概论

原子核的基本性质

原子核的组成

1. β 稳定线:

   磁场中的原子

   原子的磁矩

   单电子原子的磁矩

   1. 单电子原子的总磁矩（有效磁矩）:

   2. 单电子原子总磁矩的大小:

   3. 单电子原子总磁矩 分量的大小: μ_jz = −g_jm_jμ_B

   4. 单电子原子总磁矩的 因子:

   多电子原子的磁矩

   1. 多电子原子的总磁矩:

   2. 多电子原子总磁矩的大小:

   3. 多电子原子总磁矩 分量的大小: μ_Jz = −g_JM_Jμ_B

   4. 多电子原子总磁矩的 因子:

      1. 耦合:

      2. 耦合:

   磁场对原子的作用

   Larmor 进动

   1. 均匀外磁场中原子总磁矩的角动量定理:

   2. 利用关系式改写为:

   3. 旋磁比:

   4. Larmor 进动角频率: ω_L = γB

   6.2 磁场中原子的附加能量

   6.2.2 磁场中原子的附加能量

   1. Zeeman 能级: ΔE = −μ_J ⋅ B = −μ_JzB = M_Jg_Jμ_BB

   2. Zeeman 能级间隔:

   原子光谱的 Zeeman 效应

   正常 Zeeman 效应

   正常塞曼效应是指光谱线在磁场中分裂为三条谱线的现象，分裂间距相等。

   适用于总自旋S = 0情况，即单态能级。

   

   1. π 光: ΔM_J = 0ν_π = ν₀

   2. σ 光: ΔM_J = ±1

   正常塞曼效应中，为一个Lorenz单位。

   

   反常 Zeeman 效应

   

   

   

   Paschen-Back 效应

   1. 强磁场下原子磁矩的附加能量：忽略 ℒ𝒮耦合（此时是S², S_z, L², L_z守恒量）ΔE = −μ_L ⋅ B − μ_S ⋅ B = −μ_LzB − μ_SzB = M_Lg_Lμ_BB + M_Sg_Sμ_BB

   

   磁共振

   电子顺磁共振 (EPR)

   1. U = −μ_s ⋅ B = g_sm_sμ_BB电子自旋磁矩与外磁场方向同向排列，能量低。

   2. 自由电子自旋磁矩在外磁场中的 Zeeman 能级裂距:

   3. 电子顺磁共振: δE = g_sμ_BB = hν

   4. 磁偶极跃迁的选择定则: Δm_s = ±1

   5. 顺磁中心的顺磁共振: δE = g_Jμ_BB = hν

   核磁共振 (NMR)

   1. 核磁共振: δE = g_Iμ_NB = hν

   2. 核磁子:

   3. 化学移位:

      

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   磁场中的原子

   原子的磁矩

   单电子原子的磁矩

   1. 单电子原子的总磁矩（有效磁矩）:

      多电子原子

      中心力场近似

      1. 第 个电子的总势能函数：原子核势场 + 其他电子的平均中心势场

      2. 原子体系的零级近似 Hamilton 算符:

      3. 每个电子的定态 Schrodinger 方程: ψ_nilimi(r_i, θ_i, φ_i) = R_nili(r_i)Y_limi(θ_i, φ_i)

      4. 第 个电子的量子态: ϕ_nilimimsi = ψ_nilimi(r_i, θ_i, φ_i)χ_msi(s_z)

      其本征能量对l的兼并已解除，用表示

      Pauli 不相容原理

      1. Bose 子：自旋量子数为整数的粒子，波函数为交换对称，如光子、𝜋介子。

      2. Fermi子：自旋量子数为半整数的粒子，波函数为交换反对称的，如电子、质子、中子等。

      3. Pauli 不相容原理：任何两个 Fermi子都不可能具有四个完全相同的量子数 。

      原子的壳层结构

      1. 原子的电子组态: n_il_i^N_i

      2. 原子中电子的壳层结构:

         1. 主壳层:

            1 2	n = 1 2 3 4 5 6 7 K L M N O P Q

         2. 支壳层:

            1 2	l = 0 1 2 3 4 5 ... s p d f g h ...

      3. 各壳层能容纳的电子数:

         1. 主壳层 ( 相同):

         2. 支壳层 ( 相同): N(l) = 2(2l + 1)

      4. 闭合壳层的特点

      1. 闭合支壳层的电子概率密度分布是球对称的。
      2. 闭合主壳层和支壳层的电子总角动量和磁矩均为 0。

      闭合壳层的这两个特点，将大大简化对多电子原子能级的计算.首先，闭合壳层内的电子对价电子的静电相互作用，可基本上看作是一种中心力场的作用，闭合壳层只起了屏蔽原子核的作用.另外，价电子与闭合壳层内电子之间的磁相互作用等于零.考虑原子的磁矩时，也只需计及价电子的磁矩.

      5. 支壳层的能量次序（经验公式）

      n + 0.7l

      

      多电子原子能级的精细结构

      剩余非中心库仑相互作用和自旋—轨道相互作用

      n, l, m, m_s或n, l, j, m_j都可完整描述原子中电子的运动状态。

      1. 多电子原子的剩余非中心库仑相互作用修正：

      2. 电子的自旋-轨道相互作用修正：

      ℒ𝒮 耦合

      对应原子中电子自身的自旋—轨道相互作用小于非中心剩余库仑相互作用，故先考虑后者。

      原子总轨道角动量L守恒（L²有确定本征值），在量子力学中量子数L是表征原子态的好量子数.

      LS耦合情况对应的L²，S²，J²和J_z是守恒量，它们相互对易，同时具有确定值。这时，描述原子状态的好量子数为L，S，J和M_J四个量子数。

      1. 原子的总轨道角动量： ℒ = ℓ₁ + ℓ₂ ℒ_z = M_Lℏ,  M_L = 0, ±1, …, ±L

      2. 原子的总自旋角动量： 𝒮 = s₁ + s₂ 𝒮_z = M_Sℏ,  M_S = 0, ±1, …, ±S

      3. 原子的总角动量： 𝒥 = ℒ + 𝒮 𝒥_z = M_Jℏ,  M_J = 0, ±1, …, ±J

      4. 每个精细结构能级由 L、S、J值表示。在电子组态给定后，整个原子的状态称为原子态，用这三个量子数标志，光谱学中通常用符号^2S + 1L_J表示。

      5. 电子的自旋-轨道耦合修正:

      6. Lande间隔定则(即对同一多重态，两个相邻能级间隔之比等于它们中较大的两个𝐽值比):

      E_J + 1 − E_J = A(L, S)(J + 1)ℏ²

      6. 部分非等效电子组态和等效电子组态 LS 耦合后构成的原子态:

      电子组态	原子态
      nsn′s	1S0 3S1
      nsn′p	1P1 3P0, 1, 2
      nsn′d	1D2 3D1, 2, 3
      npn′p	1S0 3S1 1P1 1D2 3P0, 1, 23D1, 2, 3
      npn′d	1P1 1D2 1F3 3P0, 1, 23D1, 2, 33F2, 3, 4
      —	—
      ns2, np6	1S0
      np1, np5	2P1/2, 3/2
      np2, np4	1S0 1D2 3P0, 1, 2
      np3	2P1/2, 1/22D3/2, 5/24S3/2

      7. Hund定则: 给定电子组态，精细结构能级高低的顺序如下决定:

      1. 首先看 S 值，S 值较大的能级较低。

      2. 其次看 L 值，L 值较大的能级较低。

      3. （仅适用于同科电子）同一支壳层内，电子数小于等于闭合壳层容纳数的一半时，J值较小的能量较低，称为正序；电子数大于闭合壳层容纳数的一半时，J值较大的能量较低，称为倒序。

      Remark:对原子的一些激发组态，ℒ𝒮耦合并不严格成立。但是，可以利用 Hund 定则确定原子基态。

      jj耦合

      对应原子中电子自身的自旋—轨道相互作用大于非中心剩余库仑相互作用。

      分裂后的能级由 j₁、j₂ 和 J 表示，标记为 (j₁, j₂)_J。在量子力学中，在jj 耦合近似下，力学量j₁²、j₂²、J² 和 J_z是守恒量，且相互对易，同时具有确定值。

      1. 电子的总角动量:

      j_i = ℓ_i + s_i

      2. 原子的总角动量:

      𝒥 = j₁ + j₂

      多电子原子的光谱

      电偶极辐射跃迁的选择定则

      1. 电子组态的选择定则: Δ(∑_il_i) = ±1

         在单电子跃迁情形下, Δl = ±1

      2. 原子中相互作用的量子数选择定则:

         1. 耦合:

         2. 耦合:

         Remark:对总角动量量子数J的选择定则严格成立，但重原子 耦合中对 的选择定则并非严格成立。

      氮原子的光谱

      

      激光

      Einstein 辐射理论

      1. 自发辐射:

         1. 能级上的原子数密度: N₂ = N₂₀e^−A₂₁t = N₂₀e^−t/τ₂

         2. 一般说来，处于激发能级 E_n的原子会自发跃迁到所有可能的低能级，能级 E_n 的平均寿命为

         3. 谱线的自然宽度:

         当 为基态能级时，

      2. 受激辐射:

         受激发射的光子与入射光子在传播方向、频率、相位和偏振方向上完全相同，受激辐射使入射光得到相干放大，是相干光

      3. 受激吸收:

      4. Einstein 关系:

         1. 热平衡下能级之间粒子数交换平衡:

         2. 热平衡下两能级上原子数密度之比服从 Boltzmann 分布:

         3. 解出入射谱能量密度:

         4. 在高温极限下:

         5. 对比Rayleigh-Kings公式，得 系数的 Einstein 关系:

      激光原理

      1. 激光器的结构: 激励能源、激活介质、光学共振腔。

      2. 激光器的分类:固体激光器、气体激光器、半导体激光器、染料激光器、自由电子激光器。

      3. 产生激光的必要条件:

         1. 受激辐射大于受激吸收: 粒子数反转, （激活介质、激励能源、抽运过程）

         2. 受激辐射大于自发辐射: B₂₁ρ(ν) > A₂₁

         3. 阈值条件: 外界激励功率超过损耗阈值

      4. He-Ne激光器

      • 工作物质： 氖气

      • 激励方式：直流气体放电

      电子经电场加速后，与He碰撞。处于激发态的He与Ne碰撞，把能量传递给Ne，使它在亚稳态(2p⁵5s、2p⁵4s）和激发态（2p⁵4p、2p⁵3p）之间形成反转分布。

      

      5. 红宝石激光器
      • 激励能源：脉冲氙灯
      • 工作物质：红宝石中的Cr⁺³

      脉冲氙灯发出的光照射红宝石，使得Cr⁺³在亚稳态和基态之间形成反转分布。

      X 射线

      X 射线的产生机制

      

      1. X 射线谱:

         1. X射线的连续谱：带电粒子与原子（原子核）相碰撞，发生骤然减速时，动能->辐射能，由此伴随产生的辐射为轫致射辐。存在最小波长(电子在电场中得到的动能全部转成辐射能，一个电子仅辐射一个光子时)：
         2. X 射线的特征谱：内壳层电子跃迁。

         在外界作用下，如一个能量足够高的入射电子碰撞原子，使原子的内壳层电子电离，在内壳层产生了一个空位，外壳层电子将跃迁至这个空位，并发射一个光子，由于内壳层电子的束缚能比外壳层电子大得多，发射的光子频率一般落在X射线波段，这样形成了X 射线的特征发射谱. 内壳层电子也可以吸收外来的X射线光子而被电离，这就形成了X 射线的特征吸收谱.

      2. Moseley 定律:

         若是一个L 电子被电离，留下一个空位，填充电子来自M、N、O等壳层，发出的 X 射线相应地称为 L𝛼、L𝛽、L𝛾，等线，依此类推.

      3. 俄歇效应:

         当原子内壳层出现空位，较外层电子跃迁至这个空位时，其多余的能量不一定通过发射X射线释放，也可能将多余的能量通过库仑相互作用传给另一个外层电子，使其电离，这是一种非辐射退激发过程.

         E = E_K − E_L − E_M

      X 射线的吸收*

      1. Lambert-Beer 定律: I = I₀e^−αx = I₀e^−μρx

      2. 低能 X 射线的质量吸收系数: μ = μ_光电 + μ_compton + μ_rayleigh

      3. 吸收限: X 射线使一个内壳层电子脱离原子

      

      4. 扩展 X 射线吸收的精细结构:被打出电子的波被周围原子散射形成向内的波，与原来向外的波干涉
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      多电子原子

      中心力场近似

      1. 第

         氢原子与碱金属原子

         氢原子

         氢原子的定态 Schrodinger方程

         1. 定态 Schrodinger 方程:
         2. Laplace 算子:
         3. 分离变量: ψ(r, θ, φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)

         4. 方位角部分:

         5. 极角部分:

         Θ_lm(θ) = AP_l^m(cos θ),  l = 0, 1, 2, …, n − 16. 径向部分:

         7. 波函数: ψ_nlm(r, θ, φ) = R_nl(r)Θ_lm(θ)Φ_m(φ) = R_nl(r)Y_l^m(θ, φ)

         ### 三个量子数的物理意义

         1. 主量子数 和能级:

            1. Ĥ 的本征方程: Ĥψ_nlm(r, θ, φ) = E_nψ(r, θ, φ)

            2. 能级:

            3. 能级的简并度(同一能级，氢原子有n²个本征态):

         2. 角量子数 和轨道角动量:

            1. L̂²的本征方程: L̂²Y_l^m(θ, φ) = l(l + 1)ℏ²Y_l^m(θ, φ)

            2. 轨道角动量的大小:

         3. 磁量子数 和轨道角动量空间取向:

            1. L̂_z的本征方程: L̂_zY_l^m(θ, φ) = mℏY_l^m(θ, φ)

            2. 轨道角动量 分量的大小: L_z = mℏ,  m = 0, ±1, ±2, …, ±l

         电子概率密度分布

         1. 空间概率分布: |ψ_nlm(r, θ, φ)|²|dτ| = |R_nl(r)|²|Y_l^m(θ, φ)|²r²sin θdrdθdφ

         2. 角向概率分布: P_lm(θ, φ)dΩ = ∫₀^+∞|R_nl(r)|²r²dr|Y_l^m(θ, φ)|²sin θdθdφ = |Y_l^m(θ, φ)|²dΩ

         3. 径向概率分布: P_nl(r)dr = ∫₀^2πdφ∫₀^π|Y_l^m(θ, φ)|²sin θdθ|R_nl(r)|²r²dr = R_nl²(r)r²dr

            P_nl(r)有 个极大值点， 个极小值点。主峰位置随 增加向原子核移近。 值越小，最内层的峰离核越近，说明对同一 值，随着 的减小，电子出现在原子核附近的概率逐渐增大。

         4. 电子径向坐标的平均值:

         定态的宇称

         1. 空间反演算符: P̂ψ_nlm(r, θ, φ) = ψ_nlm(r, π − θ, φ + π)

         2. 氢原子定态的宇称取决于 : Y_l^m(π − θ, φ + π) = (−1)^lY_l^m(θ, φ)P̂ψ_nlm(r, θ, φ) = (−1)^lψ_nlm(r, θ, φ)

         跃迁的选择定则

         1. 感生偶极矩算符: D̂ = −er

         2. 电偶极跃迁矩阵元: D_nn^′ = ∫_−∞^+∞ψ_n^*(r)D̂ψ_n^′(r)dτ

            在 $ n(r) {n’}(r) |D_{nn’}|^2 $。

         3. 发生电偶极辐射跃迁的条件

         ⟨er_ij⟩ = e⟨j|r|i⟩ = e∫_−∞^+∞ψ_n2l2m2^*rψ_n1l1m1 ≠ 0

         1. 方位角部分: x : ∫₀^2π[e^{i(m₁ − m₂ + 1)φ} + e^{i(m₁ − m₂ − 1)φ}]dφy : ∫₀^2π[e^{i(m₁ − m₂ + 1)φ} − e^{i(m₁ − m₂ − 1)φ}]dφz : ∫₀^2πe^{i(m₁ − m₂)φ}dφ

         磁量子数的选择定则: Δm = m₂ − m₁ = 0, ±1

         2. 极角部分:

         角量子数的选择定则 (Laporte 选择定则): Δl = l₂ − l₁ = ±1

         碱金属原子

         1. 碱金属原子能级的粗结构:

            1. 对同一主量子数 ，碱金属能级位置低于氢原子。
            2. 对同一主量子数 ，不同角量子数 导致能级分裂。

         2. 碱金属原子能级低于H的原因:

            1. 原子实极化：价电子对原子实有极化作用。
            2. 轨道贯穿：价电子有一定概率出现在原子实内。

            原子实的有效电荷数𝑍^∗ > 1，使得碱金属原子能量降低.(用量子力学的观点就是价电子的波函数在原子实内部不为零)

         3. 碱金属原子的能级和光谱项:

         不同能级之间的跃迁遵守电偶极跃迁规则. 跃迁前后角量子数𝑙 的变化满足Δ𝑙= ±1. 图中由𝑛𝑝 向2𝑠 跃迁的，即𝑛𝑝 → 2𝑠 为主线系，𝑛𝑠 → 2𝑝 为第二辅线系，𝑛𝑑→ 2𝑝为第一辅线系，𝑛𝑓 → 3𝑑 为柏格曼系. 2𝑝 向基态2𝑠的跃迁产生的谱线称为共振线.

         电子的自旋与磁矩

         电子轨道的磁矩

         1. 电子轨道的磁矩:

         2. 电子轨道的磁矩的大小:

         3. 电子轨道的磁矩 分量的大小:

         Stern-Gerlach 实验

         1. 作用于原子磁偶极矩上的力:

         2. 横向位移:

         电子自旋的磁矩

         1. 电子自旋角动量量子数:

         2. 电子自旋角动量:

            1. 电子自旋角动量的大小:

            2. 电子自旋角动量 分量的大小:

         3. 电子自旋的磁矩:

            1. 电子自旋磁矩和自旋角动量的关系:

            2. 电子自旋磁矩的大小:

         4. 电子轨道和自旋磁矩的公式:

         5. 电子量子态的波函数: ϕ_nlmms = ψ_nlm(r, θ, φ)χ_ms(s_z)

         碱金属原子光谱的精细结构

         原子的总角动量

         1. 原子的总角动量: 𝒥 = ℒ + 𝒮

         2. 总角动量的大小:

         3. 总角动量 分量的大小: 𝒥_z = M_Jℏ,  M_J = 0, ±1, …, ±J

         4. ℒ𝒮耦合不改变碱金属原子量子态的数目:

         自旋-轨道相互作用

         自旋 − 轨道耦合 使得 同一l能级进一步分裂为两个值 （能级精细结构）

         j 值大的能级高， j 值小的能级低

         s 态不分裂

         1. 原子实在电子处产生的磁感应强度:

            在原子实静止系中，Thomas 给出右面应乘 1/2:

         2. 自旋-轨道耦合能:

         3. 自旋-轨道耦合能在原子定态中的平均值:

         碱金属原子光谱的精细结构

         1. 碱金属原子总能量: E_nlj = E_nl + ΔE_ls

         2. 双重能级:

         3. 双重能级间隔:

         4. 波数间隔:

         5. 精细能级跃迁的选择定则: ΔJ = 0, ±1,  Δl = ±1

         6. 原子能级符号: n^2S + 1L_J

         

         图 1: 锂原子能级能级的精细结构及允许跃迁

         ### 碱金属原子能级精细结构的几个特点： 1.双重能级分裂的大小与有效核电荷数𝑍^∗的四次幂成正比，随着原子序数的增大，𝑍^∗也增大，所以高原子序数Z的原子双重能级分裂大. 2. n²S_1/2能级不存在精细分裂，因为𝑙 = 0时，不存在轨道运动产生的磁场，但通常 仍保留多重数为2 的标记.S 3. Δ𝐸_𝑙𝑠反比于𝑛³ 和𝑙³，对同一原子，随着量子数𝑛及𝑙 的增大，精细分裂迅速减小. 4. 双重能级中，具有较高J 值的能级，能量较高.

         氢原子光谱的精细结构

         1. Heisenber 的相对论修正:

         2. Dirac 的自旋-轨道耦合修正:

         3. 氢原子总能量: 对于同一n，j相同的能级是简并的

         4. Lamb 移位:

            1. 真空极化：交换虚光子产生的虚正负电子对 对原子核电荷有屏蔽作用。
            2. 自能作用：电子运动产生和吸收虚光子使电子质量增加。

            

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         氢原子与碱金属原子

         氢原子

         氢原子的定态 Schrodinger 方程

         1. 定态 Schrodinger 方程:

            量子力学导论

            波粒二象性

            1. 光子能量: E = hν = ℏω

            2. 光子动量:

            3. de Broglie 波长:

            4. 不确定关系:

            5. 常用相对论能量-动量关系 E² = p²c² + m₀²c⁴E = E_K + m₀c²

            可得出E_k的两种表达*：1. 用速度 v表示： 2. 用动量 p表示：

            德布罗意波的实验验证——戴维逊-革末实验

            布拉格公式： 2dsin θ = nλd：晶体中相邻原子层（晶面）的间距（晶面间距）。 θ：入射波与晶面的夹角，称为掠射角（入射角的余角，即入射方向与晶面的夹角）。

            

            应用于本例，布拉格衍射的晶格常数为 a，入射与出射方向的夹角为 θ ，则强波束射出的条件是 nλ = asin θ

            在非相对论近似下，

            当入射电子能量E_k = 54eV时，可算得 λ = 0.167nm。进而

            对于镍晶体，晶格常数a = 0.215nm ，若取入射电子能量E = 54eV ，则

            sin θ = 0.776n

            波函数

            单值、连续、可微、归一化——是量子力学中为了描述粒子状态并确保物理理论的合理性而提出的数学要求。

            1. 波函数: ψ(r, t) = ψ₀e^{i(k ⋅ r − ωt)}
            2. 统计诠释: P = |ψ(r, t)|²dV
            3. 归一化条件: ∫_−∞^+∞|ψ(r, t)|²dV = 14.态叠加原理： ψ(r, t) = ψ₁(r, t) + ψ₂(r, t)|ψ(r, t)|² = ψ(r, t)ψ^*(r, t)## Schrodinger 方程

            Schrodinger 方程的建立

            1. 电磁波的波动方程: (ʲ − c²p̂)ψ(r, t) = 0

            2. 相对论 Schrodinger 方程:

               1. Klein-Gordon 方程: E² = p²c² + m₀²c⁴
            2. Dirac 方程: E = αcp + βm₀c²

            3. 非相对论 Schrodinger 方程: (1) 一维 Schrodinger 方程: (2) 三维 Schrodinger 方程: ### 定态 Schrodinger 方程定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态。

            1. 势场 不显含时间 ，Schrodinger 方程变为：
            2. 分离变量： ψ(r, t) = ψ(r)T(t)

            3. 时间部分： T(t) = T₀e^−iEt/ℏ这里的相位因子e^−iEt/ℏ描述了波函数随时间的周期性振荡.相位的变化速率与能量直接相关，这反映了量子系统中的能量－时间关系.

            4. 定态波函数： ψ(r, t) = ψ(r)e^−iEt/ℏ

            5. 空间部分即定态 Schrodinger 方程： ### Schrodinger 方程的应用

            6. 一维无限深势阱：

               1. Schrodinger 方程：

            ψ(x) = Asin kx + Bcos kx(2) 边界条件： B = 0,  ka = nπ,  n = 1, 2, …(3) 波函数： (4) 能量： 2. 一维有限深势阱：束缚态 (1) 当 时，

            ψ(x) = Asin kx + Bcos kx(2) 当 时，

            (3) 势是偶函数，仅讨论偶函数解 (4) 边界条件: De^−k′a = Bcos ka,   − k^′De^−k′a = −kBsin ka

            k^′ = ktan ka3. 方势垒的隧道效应: (1) 当 时,

            ψ₁(x) = Ae^ik₁x + Be^−ik₁x(2) 当 时,

            ψ₂(x) = Ce^k₂x + De^−k₂x(3) 当 时，没有入射波 ψ₃(x) = Fe^ik₁x + Ge^−ik₁x(4) 透射概率:

            如果 ，透射概率可以近似为

            5. 反射概率:

            一维谐振子

            • 哈密顿算符: 其中 是系统的固有角频率。
            • 定态薛定谔方程:

            - 无量纲变量: 方程变为：

            能量本征值与波函数

            • 能量本征值:
            • 归一化的本征函数:

            其中 H_n(ξ)是厄米多项式。

            算符与力学量

            算符与对易关系

            1. 算符:
               1. Hamilton 算符:
               2. 动量算符: p̂ = −iℏ∇
               3. 能量算符:
               4. 轨道角动量算符: L̂_x = yp̂_z − zp̂_y,  L̂_y = zp̂_x − xp̂_z,  L̂_z = xp̂_y − yp̂_x

            L̂² = L̂_x² + L̂_y² + L̂_z²球坐标下，

            2. 正则对易关系:

               1. 坐标与动量的对易关系: [x̂_α, p̂_β] = iℏδ_αβ

               2. 动量算符的对易关系: [p̂_α, p̂_β] = 0

               3. 坐标与角动量的对易关系: [x̂_α, L̂_β] = ε_αβγiℏx̂_γ

               4. 动量与角动量的对易关系: [p̂_α, L̂_β] = ε_αβγiℏp̂_γ

               5. 角动量算符的对易关系: [L̂_α, L̂_β] = ε_αβγiℏL̂_γ

            [L̂², L̂] = 0

            3. 本征方程: Ôf_n = λ_nf_n一个本征值对应于 个本征函数，称这一本征函数是 度简并的。

            表象与力学量的平均值

            1. 表象与表象变换

            在量子力学中，表象是指用一组完备的正交归一基底来描述量子系统的状态和力学量。不同的表象对应于不同的基底，但物理本质是相同的。

            • 位置表象：基底是位置本征态 |x⟩，态矢量在位置表象中的表示为波函数ψ(x) = ⟨x|ψ⟩。
            • 动量表象：基底是动量本征态 |p⟩，态矢量在动量表象中的表示为波函数φ(p) = ⟨p|ψ⟩。
            • 能量表象：基底是哈密顿量的本征态 |E_n⟩，态矢量在能量表象中的表示为系数c_n = ⟨E_n|ψ⟩。

            不同表象之间的转换可以通过幺正变换实现。例如，从位置表象到动量表象的转换可以通过傅里叶变换实现： 反之，从动量表象到位置表象的转换为：

            2. 力学量的平均值

            对于一个力学量 A，其算符为Â，在态 |ψ⟩ 下的平均值定义为： ⟨A⟩ = ⟨ψ|Â|ψ⟩

            • 在位置表象中：如果态矢量 |ψ⟩ 在位置表象中的表示为波函数 ψ(x) = ⟨x|ψ⟩，则其的平均值可以表示为：⟨A⟩ = ∫_−∞^∞ψ^*(x)Âψ(x)dx
            • 在动量表象中：如果态矢量 |ψ⟩ 在动量表象中的表示为波函数 φ(p) = ⟨p|ψ⟩，则其平均值可以表示为：⟨A⟩ = ∫_−∞^∞φ^*(p)Âφ(p)dp

            例如位置算符 x 的平均值：⟨x⟩ = ∫_−∞^∞ψ^*(x)xψ(x)dx.

            动量算符 p 的平均值：

            力学量有确定值的条件

            厄米算符的性质

            在量子力学中，所有可观测量（如位置、动量、能量等）都由厄米算符描述。一个算符Â如果满足以下条件，则称为厄米算符：

            ∫ψ^*Âϕdx = ∫(Âψ)^*ϕdx对于任意两个波函数 ψ 和 ϕ。

            • 厄米算符的本征值为实数：假设厄米算符 Â 的本征函数为 {ϕ_n}，对应本征值为{λ_n}，则有λ_n^* = λ_n
            • 不同本征值的本征函数具有正交归一性：即 ∫ϕ_k^*ϕ_ldx = δ_kl

            力学量具有确定值的条件

            1. 当体系处于力学量 A的本征态时，即 Âϕ = λϕ，对A进行测量，将会以100%的概率得到确定值 λ，这也是系统的平均值。

            2. 如果体系不是处于本征态而是任意一个叠加态 ψ(x) = ∑_nc_nϕ_n(x)，其中{ϕ_n}构成完全系，对应本征值为 {λ_n}。通过计算系数c_n可知，测得 λ_n 的概率为|c_n|²。(洪恩规则)

            3. 不同力学量同时有确定值： 当体系处于波函数ψ(x)（Â, B̂本征波函数的叠加态）所描写的状态时，测量力学量A、B所得的值，必定是算符Â, B̂的本征值之一，测得λ_n, μ_n的概率为|c_n|²

            推论：一组算符{Â₁, Â₂, ⋯}有共同本征函数且构成完全系，它们同时有确定值。相应地，这组物理量对应的算符中的任何两个都互相对易。

            守恒量

            如果物理量的算符 Â不显含时间 t 并且与哈密顿算符Ĥ对易，则其平均值不随时间变化，即 此时称物理量 A是守恒量。例如：

            • 能量是守恒量，因为体系的哈密顿量通常不显含时间。
            • 自由粒子的能量、动量和角动量都是守恒量。（哈密顿算符仅包含动能项）
            • 在中心力场中，粒子的动量不是守恒量，但L̂² 、 L̂_z 、 Ĥ是守恒量。

            一组彼此独立且相互对易的算符构成一个力学量完全集，如果给定一组量子数之后能够完全确定体系的一个可能的状态。例如，在中心力场中，哈密顿算符Ĥ、角动量平方 L̂² 和角动量分量 L̂_z构成了一个力学量完全集，并且它们有共同的本征函数。这些对应的量子数被称为好量子数，参与对系统的描述。

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            量子力学导论

            波粒二象性

            1. 光子能量: E = hν = ℏω

            2. 光子动量:

            2026-03-21T12:33:44.000Z yeliqin666

            从经典物理到量子物理

            黑体辐射

            热辐射与基尔霍夫定律

            1. 热辐射：物体由于具有温度而发射电磁波的现象.这种辐射不需要介质传递，可以在真空中传播.

            2. 平衡热辐射：物体在热平衡状态下发射的热辐射.当物体与周围环境达到热平衡时，物体吸收的辐射能量与它发射的辐射能量相等，此时物体的温度保持不变.

            3. 谱辐射本领 𝑟(𝜆, 𝑇)（单色辐出度）：

            4. 总辐射本领 R(T) = ∫₀^∞r(λ, T)dλ = ∫₀^∞r(ν, T)dν

            5. 物体对辐照到其上面的辐射的响应方式一般包括吸收、反射、透射（透明物质）.一定温度下，

            • 物体的吸收本领（系数）:

            • 反射本领（系数）:

            • 透射本领（系数）:

            由能量守恒知： a(λ, T) + β(λ, T) + t(λ, T) = 1

            对不透明的物体，t(λ, T) = 0；对（绝对）黑体，a(λ, T) = 1.

            6. 物体吸收本领和辐射本领之间的关系：基尔霍夫定律在热平衡状态下，任何物体的谱辐射本领与谱吸收本领的比值是一个与物体本身性质无关的普适函数
            • 物体的辐射本领正比与其吸收本领；
            • 与同温度其它物体的热辐射相比，黑体热辐射本领最强；
            • 通过研究黑体的谱辐射本领，便可以知道普适函数的性质.
            1. Stefan-Boltzmann 定律：R(T) ∝ T⁴R(T) = σT⁴,  σ = 5.67 × 10⁻⁸W ⋅ m⁻² ⋅ K⁻⁴
            2. Wien 位移定律： λ_mT = b,  b = 2.897 × 10⁻³m ⋅ K
            3. 黑体辐射本领与辐射能量密度的关系*：
            4. 黑体辐射本领的转换关系*：
            5. 黑体辐射能谱曲线：
               1. Wien 半经验公式：短波符合 其中第一、第二辐射常量C₁ = 2πhc²,  C₂ = hc/k_B
               2. Rayleigh-Kings 公式：长波符合，紫外灾难
               3. Planck 公式： 其中普朗克常数h = 6.6260755(40) × 10⁻³⁴J ⋅ s
               普朗克量子化假说：物体的辐射和吸收能量是以离散的能量子形式进行的，即能量是量子化的.频率为 ν的谐振子的能量只能取某些特殊的分立值，这些分立值是基本能量单元ε₀ = hν的整数倍，即ε_n = nε₀ = hν.

            光电效应

            1. 光电效应的实验规律：
            • 存在饱和电流，饱和电流与入射光强成正比.即单位时间内，阴极溢出的光电子数与入射光强成正比；(光强一定时，随着外加电压的增大，极限情况时所有光子都可以产生光电子，光电子形成的电流就趋于饱和.)
            • 存在遏止电压V₀，且遏止电压和入射光频率成线性关系（与经典矛盾）；
            • 存在截止频率ν₀（红限），仅ν > ν₀才有光电子溢出（与经典矛盾）；
            • 光电子是瞬时发射的，弛豫时间不超过10⁻⁹𝑠.(光子能量一次被一个电子吸收，不需要积累能量的时间.)
            2. Einstein光量子假说：光是由不连续的能量单元组成的能量流，其中每一个单元称为光量子（简称光子）.光子的能量为ℎν，光子只能被整个地吸收或发射.

            光子动量：

            相对论质能关系：

            E² = p²c² + m₀²c⁴

            3. Einstein 光电效应方程：

            ϕ = hν₀为克服金属的束缚需要的逸出功。

            4. 遏止电压：

            康普顿散射:有力支持光量子理论

            1. 实验结果：
            • （1）除原波长λ₁外，出现了波长变长的散射波.
            • （2）波长的偏移只与散射角φ有关，而与散射物质种类及入射的X射线的波长λ₁无关.
            • （3）不同材料，同一散射角的实验中随着原子序数的增大波长不变的成分在增加，而波长变长的成分在减少.
            2. 康普顿散射公式：

            在公式的推导过程中利用了爱因斯坦的光量子假设，康普顿散射实验有力地支持了爱因斯坦光量子理论.

            • X 射线与内层电子的散射，散射波的波长不变，为相干散射. 解释：X射线光子与内层电子的散射. 内层电子与原子核结合紧密，束缚能较大，X射线相当于和整个原子M发生碰撞，Δλ ∼ 0
            • X射线与外层电子的散射，散射波的波长变长，为非相干散射，称为康普顿散射.
            • 随原子序数的增大，散射谱中波长不变的成分在增加，而波长变长的成分在减少.解释：随着原子的增大，核外电子的总数目增加，X射线与内层电子碰撞的概率增大，与外层电子碰撞概率减小.

            4. 当入射光子能量等于电子静止静止能，其波长为康普顿波长：

               其中hc = 1240nm ⋅ eV，m₀c² = 511keV = 0.511MeV.且当φ = 90°，Δλ = λ_c.

            从氢原子光谱到玻尔模型

            氢原子光谱

            1. Balmer 经验公式：
            2. 里德伯公式： $ m=1,2,3,…,对每一个m,n=m+1,m+2,,$
            3. 在光谱学中，光谱项定义为 故波数可写作： ν̃ = T(m) − T(n)

            线系名称	波数公式	跃迁(n → m)	电磁波段
            莱曼系		m = 1, n = 2, 3, 4, ⋯	紫外区
            巴耳末系		m = 2, n = 3, 4, 5, ⋯	可见光区
            帕邢系		m = 3, n = 4, 5, 6, ⋯	近红外区
            布拉开系		m = 4, n = 5, 6, 7, ⋯	远红外区
            普丰特系		m = 5, n = 6, 7, 8, ⋯	更远的红外区

            卢瑟福核式结构模型

            α粒子散射实验

            1. Coulomb 散射公式：

               其中Coulomb散射因子a亦即对心碰撞最小距离。

            2. Rutherford 散射公式：

            其物理意义是α粒子散射到θ方向单位立体角内一个靶核的有效散射截面，也是被单位面积内的一个靶核散射到θ 方向单位立体角内的概率.

            单位立体角的散射概率和微分截面等价：

            dΩ = 2πsin (θ)dθ

            Bohr 模型

            1. Bohr 模型：

               1. 定态条件：在氢原子中，电子只能处于一些分立的轨道上绕核转动，这些轨道称为定态.在定态中，电子不产生电磁辐射。

            能量：

            2. 频率条件： hν_nn^′ = E_n^′ − E_n

            比较Rydberg 方程，得到量子化的能量：

            3. 对应原理，或角动量量子化： L = m_evr = nℏ

            其中.

            2. Coulomb 力充当向心力：

            3. Bohr 半径：

            4. Bohr 能量：

            由角动量量子化可得电子速度.

            5. Rydberg 方程： #### Bohr模型的计算：

            6. 精细结构常数：

            7. Bohr 第一半径：

            8. Bohr 第一速度：

            9. 氢原子的基态能量： Bohr 能量改写为：

            10. Rydberg 常量：

            两体修正

            m_p = 1836m_e

            而当绕核粒子质量较大，需要修正R中m_e。

            弗兰克-赫兹实验(1914)

            揭示了汞原子存在一个激发态，其与基态的能量差为4.9eV.每当电子被加速到能量为时，其可以通过与汞原子碰撞失去动能，同时将汞原子激发到激发态.汞原子退激发时，放出4.9电子伏的光子.

            玻尔模型在类氢系统的应用

            类氢系统的特征是一个带负电的粒子加上一个带正电的核心，比如类氢离子、里德伯原子和奇异原子.

            类氢离子:原子核外只有一个电子

            里德伯原子:电子被激发到非常高的主量子数的原子

            相应的激发态称为里德伯态.这些原子的外层电子处于高度激发态，离原子核的距离非常远，因此具有独特的物理性质.

            奇异原子:组成粒子或结构发生显著变化的原子

            Bohr 模型的修正

            1. 氢光谱：两体修正
            2. 类氢光谱：在原有公式中出现 e² 时乘以 Z

            电子速度：

            3. 相对论修正*：
               1. 电子的动能：
               2. 电子的势能：
               3. 电子的能量：
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            从经典物理到量子物理

            黑体辐射

            热辐射与基尔霍夫定律

            1. 热辐射：物体由于具有温度而发射电磁波的现象. 这种辐射不需要介质传递，可以在真空中传播.

            2. 平衡热辐射：物体在热平衡状态下发射的热辐射. 当物体与周围环境达到热平衡时，物体吸收的辐射能量与它发射的辐射能量相等，此时物体的温度保持不变.

            3. 谱辐射本领]]>

            2026-03-21T12:33:44.000Z yeliqin666

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            段para内可以可以输入符号如ϕ  ψ。

            equation环境应如下设置，其余环境同理。π²

            若不需要编号，则 a⃗(r)

            转换时默认不会含有图/表名和label。

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            封面表格内容	Times New Roman，思源宋体	加粗	四号	14
            论文总标题	Times New Roman，华文中宋	加粗	二号 加粗	22
            学校专业姓名	Times New Roman，楷体	无	四号	14
            摘要/关键字	Times New Roman，楷体	加粗	小五	9
            摘要/关键字的内容	Times New Roman，楷体	无	小五	9
            一级标题/h1	Times New Roman，华文中宋	加粗	小三	15
            二级标题/h2	Times New Roman，华文中宋	加粗	四号	14
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            正文	Times New Roman，思源宋体	无，行间距1.5倍	小四	12
            表格标题	Times New Roman，楷体	加粗	小四	12
            表格内容	Times New Roman，楷体	无	五号	10.5
            引用块	Times New Roman，楷体	无	小四	12
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            • 吃饭
            • 睡觉
            • 学习
            • 玩原神

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            引用块

            仰天大笑出门去，我辈岂是蓬蒿人。

            代码块

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            import random answer = random.sample(range(1,10),4) print(answer) a = b = n =0 # while a!=4 : a = b = n = 0 user = list(input('請輸入四個數字：')) for i in user: if int(user[n]) == answer[n]: a += 1 else: if int(i) in answer: b += 1 n += 1 output = ','.join(user).replace(',','') #重點：將串列轉換為字串的方法 print(f'{output}:{a}A{b}B') print('答對了！')

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            你是我生命中一盏灯

            照亮所有迷惘角落

            是你流淌着爱

            是爱浇灌着我

            幸福是风霜雨雪都经过

            再把阳光收获

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            你是我生命中一盏灯

            照亮所有迷惘角落

            是你流淌着爱

            是爱浇灌着我

            幸福是风霜雨雪都经过

            再]]>

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            \documentclass[UTF8]{ctexbook} \usepackage{amsmath} \usepackage{graphicx} \usepackage{amssymb} \usepackage{float} \usepackage[a4paper,left=2.5cm,right=2.5cm,top=2.5cm,bottom=2.5cm]{geometry} \usepackage{multicol} \usepackage{diagbox} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{tikz} \usepackage{mathrsfs} \usepackage[hidelinks]{hyperref} \usepackage{subfigure} \usepackage{esint} %“闭合曲面积分符号”(\oiint)之必要 \renewcommand{\headrulewidth}{1.5pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0pt} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\b}{\boldsymbol} \renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Im}{\mathrm{Im}} \renewcommand{\Re}{\mathrm{Re}} \renewcommand{\t}{\overleftrightarrow} \renewcommand{\k}{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}} \newcommand{\kk}{\frac{1}{4\pi\varepsilon}} \newcommand{\RNum}[1]{\lowercase\expandafter{\romannumeral #1\relax}} \newcommand{\res}{\mathrm{res}} \newcommand{\orgname}{} \newcommand{\setorg}[1]{\renewcommand{\orgname}{#1}} % 设置机构 \newtheorem{thm}{定理} \newtheorem{proof}{证明} \newtheorem{eg}{例题} \numberwithin{equation}{chapter} % 定制元信息 \makeatletter \renewcommand{\maketitle}{ \begin{titlepage} \flushleft % logo左对齐 \includegraphics[width=6cm]{xjtulogo.png} \centering \vspace*{6cm} \Huge\textbf{\@title}\\[2cm] \Large\textbf{\@author\\\orgname}\\[2cm] \@date \vfill \end{titlepage} } \pagestyle{fancy} \lhead{\orgname} \chead{} \rhead{\@title} \lfoot{} \cfoot{} \rfoot{\thepage} \makeatother \date{\today} % 可选，如果不指定，则不会显示日期 \author{yeliqin666} \setorg{School of Physics, Xi'an Jiaotong University, China} \title{热学课堂笔记} % 取消本条注释，则将定义计数器归并到定理下 % \resetdefine \begin{document} \maketitle \tableofcontents \newpage \chapter{数学补充复习} \section{矢量代数} 我们目前最常接触的物理量有\emph{标量}和\emph{矢量}，如果考虑他们对空间位置的依赖，那么就有\emph{标量场}和\emph{矢量场}。本部分回顾矢量运算的简单规则，并引入爱因斯坦求和约定。 \subsection{矢量坐标分量表示法} 一个矢量可以用基矢的线性组合来表达， \[\b{A}=A_x\b{i}+A_y\b{j}+A_z\b{k}=A_i\hat{\b{e}}_i,\quad \hat{\b{e}}_i\cdot\hat{\b{e}}_j=\delta_{ij}.\] \subsection{爱因斯坦求和规则} 这里与课堂上的顺序稍有调换，将这部分先放到前面。爱因斯坦求和规则是，\emph{重复指标意味求和，省略求和号}。作为最简单的例子，一个矢量可以写成 \[\b{A}=A_i\hat{\b{\e}}_i.\] 对于一组单位正交基矢，应该有关系 \[\hat{\b{e}}_i\cdot\hat{\b{e}}_j=\delta_{ij},\quad \hat{\b{e}}_i\times\hat{\b{e}}_j=\varepsilon_{ijk}\hat{\b{e}}_k.\] 其中$\varepsilon_{ijk}$被成为三阶反对称张量，它满足 \[\varepsilon_{ijk}=\left\{\begin{gathered}1,\quad ijk\text{为123的偶排列} \\ -1,\quad ijk\text{为123的奇排列} \\ 0,\qquad\qquad \text{其他情况}\end{gathered} \right.\] 在矢量运算公式的推到中经常会用到它的一个性质： \[\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmk}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta{im}\delta_{jl}.\] 看起来很复杂，但其实还是比较好记的。 利用爱因斯坦求和约定可以方便地得到矢量运算的一些结论。例如： \begin{itemize} \item[(1)] \[\b{A}\cdot(\b{B}\times\b{C})=\b{C}\cdot(\b{A}\times\b{B})=\b{B}\cdot(\b{C}\times\b{A}).\] \item[(2)] \[\b{A}\times(\b{B}\times\b{C})=\b{B}(\b{A}\cdot\b{C})-\b{C}(\b{A}\cdot\b{B}).\] \item[(3)] \[(\b{A}\times\b{B})\cdot(\b{C}\times\b{D})=(\b{A}\cdot\b{C})(\b{B}\cdot\b{D})-(\b{A}\cdot\b{D})(\b{B}\cdot\b{C}).\] \end{itemize} 至此，最简单的一部分矢量代数就结束了。 \section{矢量场的微分积分} \subsection{梯度} \emph{梯度}的想法是从单元函数到多元函数微分的推广过程中产生的。对于单元函数，它的微分可以写成 \[\d f=\frac{\d f}{\d x}\d x = f'(x)\d x.\] 对于多元函数，例如，在电动力学中主要是空间位置的函数，它的全微分可以写成 \[\d T = \frac{\partial T}{\partial x_i}\d x_i \triangleq (\nabla T)\cdot\d \b{l}.\] 这就是标量场梯度的定义。梯度算符可以写成 \[\nabla=\hat{\b{e}}_i\partial_i.\] 梯度算符作用在标量场上产生一个矢量场。 \subsection{散度，旋度} 从梯度算符的引入中我们可以看到，这个算符同时具有微分性和矢量性。相比利用极限的引入，我们可以通过其与矢量运算的类比来引入散度和旋度。矢量场的散度是 \[\nabla\cdot\b{v}=\partial_iv_i,\] 矢量场的旋度是 \[\nabla\times\b{v}=\varepsilon_{ijk}\partial_iv_j\hat{\b{e}}_k.\] \subsection{梯度算符的运算规则} 这里总结一些梯度算符的运算规则，并使用爱因斯坦求和规则对其中的一些命题进行简单的证明。 \begin{itemize} \item[(1)] \[\nabla(f+g)=\nabla f+\nabla g.\] \item[(2)] \[\nabla\cdot(\b{A}+\b{B})=\nabla\cdot\b{A}+\nabla\cdot\b{B}.\] \item[(3)] \[\nabla\times(\b{A}+\b{B})=\nabla\times\b{A}+\nabla\times\b{B}.\] \item[(4)] \[\nabla\cdot(f\b{A})=f\nabla\cdot\b{A}+\b{A}\cdot\nabla f.\] \item[(5)] \[\nabla\times(f\b{A})=f\nabla\times\b{A}-\b{A}\times(\nabla f).\] \begin{proof} \begin{align*} \nabla\times(f\b{A})&=\varepsilon_{ijk}\partial(f\b{A})_j\hat{\b{e}}_k \\ &=f\varepsilon_{ijk}\partial_iA_j\hat{\b{e}}_k+\varepsilon(\partial_i f)A_j\hat{\b{e}}_k \\ &=f\nabla\times\b{A}-\b{A}\times(\nabla f). \end{align*} \end{proof} \end{itemize} \subsection{一些矢量运算公式} 这一部分是在使用中不断完善的一部分，主要对我们在后续课程中用到的矢量运算公式进行列举和证明。 \begin{itemize} \item[(1)] \[\nabla\times(\b{A}\times\b{B})=(\b{B}\cdot\nabla)\b{A}-\b{B}(\nabla\cdot\b{A})+\b{A}(\nabla\cdot\b{B})-(\b{A}\cdot\nabla)\b{B}.\] \begin{proof} 这个公式从$\nabla$算子的矢量性和微分性的双重性质出发去证明会比较方便，但是我们这里还是采用爱因斯坦求和约定来写，作为第一个比较复杂的推导例子来使读者熟悉爱因斯坦求和约定的应用。 \begin{align*} \nabla\times(\b{A}\times\b{B})&=\varepsilon_{ijk}\partial_i(\b{A}\times\b{B})_j\hat{\b{e}}_k \\ &=\varepsilon_{ijk}\partial_i\varepsilon_{lmj}A_lB_m\hat{\b{e}}_k \\ &=(\delta_{im}\delta_{kl}-\delta_{ik}\delta_{km})\partial_i(A_lB_m)\hat{\b{e}}_k \\ &=\partial_i(A_kB_i)\hat{\b{e}}_k - \partial_i (A_iB_k)\hat{\b{e}}_k \\ &=B_i\partial_iA_k\hat{\b{e}}_k+A_k\partial_iA_i\hat{\b{e}}_k-B_k\partial_iA_i\hat{\b{e}}_k-A_i\partial_iB_k\hat{\b{e}}_k \\ &=(\b{B}\cdot\nabla)\b{A}+(\nabla\cdot\b{B})\b{A}-(\nabla\cdot\b{A})\b{B}-(\b{A}\cdot\nabla)\b{B}. \end{align*} 证毕。 \end{proof} \item[(2)] \[\nabla(\b{A}\cdot\b{B})=(\b{A}\cdot\nabla)\b{B}+(\b{B}\cdot\nabla)\b{A}+\b{A}\times(\nabla\times\b{B})+\b{B}\times(\nabla\times\b{A}).\] \begin{proof} 这个公式不是那么好证。我们从右边的后两个式子着手 \begin{align*} \b{A}\times(\nabla\times\b{B})&=\varepsilon_{ijk}A_i(\nabla\times\b{B})_j\hat{\b{e}}_k \\ &= \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{lmj}A_i\partial_lB_m\hat{\b{e}}_k \\ &= (\delta_{im}\delta_{kl}-\delta_{ik}\delta_{km})A_i\partial_lB_m\hat{\b{e}}_k \\ &= A_i\partial_kB_i\hat{\b{e}}_k-A_i\partial_iB_k\hat{\b{e}}_k, \end{align*} 同样的，由交换对称性我们可以马上得到 \[\b{B}(\nabla\times\b{A})=B_i\partial_kA_i\hat{\b{e}}_k-B_i\partial_iA_i\hat{\b{e}}_k,\] 把这两项加起来我们就得到 \[\b{A}\times(\nabla\times\b{B})+\b{B}\times(\nabla\times\b{A})=\nabla(\b{A}\cdot\b{B})-(\b{A}\cdot\nabla)\b{B}-(\b{B}\cdot\nabla)\b{A}.\] 移项就可以得到我们要的公式。证毕。 \end{proof} \item[(3)] \[(\nabla\times\b{A})\times\b{A}=(\b{A}\cdot\nabla)\b{A}-\frac{1}{2}\nabla\b{A}^2.\] 证明比较简单，就不写了。 \end{itemize} \subsection{二阶导数的重要公式} 对于标量场$\phi$，矢量场$\b{A}$，有如下重要公式： \begin{itemize} \item[(1)] \[\nabla \times \nabla \phi = 0,\] \item[(2)] \[\nabla\cdot (\nabla\times \b{A})=0,\] \item[(3)] \[\nabla^2 \b{A}=\nabla(\nabla\cdot\b{A})-\nabla\times(\nabla\times\b{A}).\] \end{itemize} 下面利用爱因斯坦求和约定给出证明。 \begin{proof} \begin{itemize} \item[(1)] \begin{align*} \nabla\times\nabla\phi&=\varepsilon_{ijk}\hat{\b{e}}_i\partial_j (\nabla\phi)_k \\ &=\varepsilon_{ijk}\hat{\b{e}}_i\partial_{jk}\phi \\ &=0 \end{align*} \item[(2)] \begin{align*} \nabla\cdot (\nabla\times\b{A})&=\partial_i (\nabla\times\b{A})_i \\ &=\partial_i\varepsilon_{ijk}\partial_j A_k \\ &=0 \end{align*} 其中，最后一步可以考虑将$i,j$互换，这样就可以自然地得到结果。 \end{itemize} \end{proof} \subsection{高斯定理} \[\oint\b{A}\cdot\d\b{S}=\int \nabla\cdot\b{A}\d V.\] \subsection{斯托克斯定理} \[\oint \b{A}\cdot\d\b{l}=\int(\nabla\times\b{A})\cdot\d\b{S}.\] \end{document}

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            搬运自《南方人物周刊》,仅学习交流

            为了结束人类战争，他如浮士德一般，与魔鬼做交易，盗取了宙斯的雷电之火；当他还想像浮士德一样企图跟魔鬼重新谈判交易条件时——他遭到了拒绝

            ” 真是个傻瓜”

            1954年初一个周六的中午，在美国普林斯顿高等研究院的停车场里，罗伯特·奥本海默遇到了老同事爱因斯坦​‍‌‍​‍‌‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌​‍​‍​‍‌‍​‍​‍​‍‌‍‌‍‌‍‌‍​‍‌‍​‍​​‍​‍​‍​‍​‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍‌‍‌‍‌‍​。

            两人交谈了一会​‍‌‍​‍‌‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌​‍​‍​‍‌‍​‍​‍​‍‌‍‌‍‌‍‌‍​‍‌‍​‍​​‍​‍​‍​‍​‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍‌‍‌‍‌‍​。爱因斯坦直率地说奥本海默很愚蠢，他应该立刻从美国原子能委员会辞职，而不是让自己成为一场政治迫害的受害者——他已经为这个国家做了很大的贡献，如果这是美国给他的回报，他应该立刻转身而去​‍‌‍​‍‌‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌​‍​‍​‍‌‍​‍​‍​‍‌‍‌‍‌‍‌‍​‍‌‍​‍​​‍​‍​‍​‍​‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍‌‍‌‍‌‍​。

            “爱因斯坦不能理解。”奥本海默回到车上，平静里带着一丝苦楚对他的秘书说。

            爱因斯坦走回大楼的办公室，朝着奥本海默的方向点点头，对他的助手说：“真是个傻瓜。”

            这个”傻瓜”正在为一场精心针对他的忠诚审判做辩护准备——他是不是”他们”所说的危及美国国家安全的”危险分子”？他还有资格为这个国家效力吗？作为美国曾经最有影响力的科学家，他能否证明自己的忠诚，为这个国家的军事、外交、核能发展继续提供专业的意见？

            事实上，这位家喻户晓的美国”原子弹之父”不清楚自己还有多少强大而危险的敌人。

            是的，爱因斯坦总能一针见血地指出他的痛苦源头。他们彼此欣赏，又有些互相轻视，公开评价对方时总是那么微妙、有所保留。

            一次，奥本海默开车送爱因斯坦回家。老人说了一句：“一旦一个人受命去做一些看似合理的事，在那以后，生活就变得不同了。”

            奥本海默明白这句话的分量。那么，上帝掷骰子吗？

            预测他的成功，有点像赌博

            1904年4月22日，罗伯特·奥本海默出生于纽约一个犹太裔富商家庭。他的父母很早就意识到：他们的长子是个天才。他们精心呵护着他，总是优先考虑他的需要。1922年，奥本海默进入哈佛大学学习。他一度选择化学专业，接着又被热动力学和统计力学吸引，为此申请了物理专业的研究生，以便可以上更高阶的物理学课程。

            在哈佛，他仅用三年时间就以全A的成绩修完本科课程。当时，物理学的前沿阵地在欧洲。从哈佛毕业后，他渴望到欧洲继续探索自己和物理学未来的可能性。

            奥本海默在哈佛时的导师、诺贝尔奖得主铂西·布里奇曼在给他写的推荐信里这样评价：他”具有完美的领会能力”，“头脑更善于分析而不是物理操作，他不适合在实验室里操作”。继而总结：“猜测奥本海默未来能否获得成功有点像赌博，但是如果他成功了，那将会是非凡的成功。”

            1920年代的欧洲，物理学正在经历一轮新的大革命。以玻尔、海森堡为代表的一些杰出物理学家正在创建一门新的物理学——量子力学理论。它将取代牛顿为代表的经典物理学，用于解释原子、质子、电子这些微观世界里粒子的规律。

            在英国剑桥大学，奥本海默却经历了一段严重的精神危机。实验室工作带来的持续挫败感让他的抑郁症发作了，朋友们看到他经常躺在地板上，呻吟着打滚。这也伴随着他友谊和情感上的受挫感。

            最终导致了1925年秋的毒苹果事件——在抑郁和强烈嫉妒的驱使下，奥本海默将从实验室拿的氰化物注入了一个毒苹果，然后放在了他的指导老师布莱克特的桌子上。

            幸运的是，布莱克特没有吃这个毒苹果。两个月后，他向老师承认自己下了毒。最终剑桥大学行政部得知这件事。在老奥本海默的百般努力下，学校最终同意不提起刑事诉讼，奥本海默被给予留校察看的处分，并前往伦敦接受精神病专家的定期治疗。到1926年春，他一直在接受心理治疗，情况始终没有好转，他和治疗他的医生关系也很恶劣。

            1926年3月，奥本海默和几个朋友结伴去法国科西嘉岛旅行。在岛上，他似乎经历了一次带着神秘主义色彩的精神顿悟。10天后，他以一种更为平和轻松的状态回到了剑桥。他最终接受了自己不喜欢、也不适合做一名实验物理学家的现实，并迷上了当时最热门的量子力学。

            1926年夏末，一个更成熟、情绪更稳定的奥本海默离开剑桥，来到欧洲理论物理的中心——德国哥廷根大学。他赶在”理论物理大革命”结束前来到这里，发现自己置身于一群世界上最杰出的物理学家中间，包括系主任波恩、詹姆斯·弗兰克、保罗·迪拉克等，其中的许多人已是或将是诺贝尔物理学奖得主。

            量子力学当时被称为”男孩子的物理学”，是一门属于年轻人的科学。1926年，海森堡、迪拉克24岁，泡利26岁，乔丹23岁。几年后，等奥本海默回到美国，在普林斯顿第一次见到爱因斯坦，这个狂妄的年轻人在写给弟弟弗兰克的信上说”爱因斯坦是个疯子”——因为爱因斯坦固执地拒绝这一新物理学，所以这些年轻人认为属于爱因斯坦的时代已经终结了。

            1927年春天，奥本海默提交了他的博士论文，核心内容是一种对氢原子和X射线光电效应进行计算的复杂方法。5月，他以优秀成绩通过博士答辩。一年后，他在相关领域又发表了第一篇描述量子力学中”打隧道”现象的论文。这两篇论文都是令人惊叹的成果。

            1927年，奥本海默还与导师波恩合作撰写了论文《关于分子的量子论》，这篇论文为高能物理此后70年的发展奠定了基础。

            在欧洲，奥本海默找到了让自己的才华和天赋得以施展的领域，取得了真正的第一次成功，他后来评价作为科学家的人生，“就像在隧道里爬山一样，你根本不知道是否会爬出隧道。”

            量子力学在左，东方哲学在右

            1927年，当23岁的奥本海默坐船从利物浦回到纽约时，他已经是量子物理学领域里的一颗新星了​‍‌‍​‍‌‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌​‍​‍​‍‌‍​‍​‍​‍‌‍‌‍‌‍‌‍​‍‌‍​‍​​‍​‍​‍​‍​‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍‌‍‌‍‌‍​。两所欧洲大学、十所美国大学都为他提供了教职。最终，他选择在加州大学伯克利分校和加州理工学院之间轮流执教。

            其间，他回欧洲待了一年，先后师从荷兰物理学家埃伦费特、只比他大四岁的”神童”泡利，在他们的指导下研究最前沿的物理学。从1926到1929年间，奥本海默发表了16篇论文，成为一名享有国际声誉的理论物理学家。这一回，他赶上了量子理论的第二次浪潮。他是第一个掌握了连续体波动函数性质的科学家。

            在未来数十年，这些抽象、晦涩的理论将深刻地影响人类世界，带来个人电脑、基因工程、激光技术，以及引发巨大社会后果和争议的原子能。

            在物理学理论之外，奥本海默被古老的东方哲学和语言吸引。他学习梵文，并很快读懂了《薄伽梵歌》。《薄伽梵歌》是印度梵文史诗《摩诃婆罗多》中的一部宗教哲学诗，它采用了毗湿奴神的化身奎师那和人类英雄阿周那王子之间的对话形式。当神与人类进行殊死对决时，阿周那王子拒绝参加反对自己朋友和亲人的战争。而奎师那却告诉他：从本质上讲，作为一名战士就必须履行战斗和杀敌的使命。

            《薄伽梵歌》代表的东方哲学强调因果报应和世俗责任，这为奥本海默接受未来的磨难提供了一种获得心灵宁静的答案：接受使命，承担责任，自我约束，然后坦然面对结果。

            政治、爱人和物理学

            在伯克利，奥本海默用10年时间建立起美国首屈一指的理论物理研究中心。这也是他个人学术的高产期，其研究范围涵盖了从基本粒子、核物理、量子电动力学到天体物理、宇宙射线等众多领域，有不少颇具原创性的论文问世。

            在朋友和同事中，奥本海默知识广博到令人畏惧，但他对政治和时事漠不关心，1929年著名的大股灾发生好几个月后，他才把它当作新闻跟别人提起。但当1933年希特勒在德国上台，政治开始闯入他的生活。当时，德国很多犹太裔物理学家在纳粹迫害之下逃亡美国，他拿出自己的工资来参与资助项目。

            1936年，32岁的奥本海默遇到他一生的至爱——美丽、敏锐的22岁斯坦福医学院学生简·塔特洛克。

            简是伯克利一位知名文学教授的女儿。在瓦萨学院读书期间，她开始崇拜苏联共产主义。到西海岸求学后，她在共产党刊物《西部工人》上发表文章，并成为一名交党费的、定期参加党小组活动的党员。

            在简激进思想和社会良心的感染下，奥本海默也开始活跃于政治运动。她把他带进了她的圈子，他也因此结识了一些亲近或加入共产党的记者、律师、学生、医生、大学教授，包括伯纳德·彼得斯夫妇、哈康·希瓦利埃。他们搞了一个沙龙，定期聚在一起讨论政治。

            西班牙内战爆发后，奥本海默和简开始为各种援助西班牙的团体组织的筹款活动捐款。其间，奥本海默加入了一些进步组织，譬如担任”美国公民自由联盟”（简称”自由联盟”）加州分会执行委员，成为”中国人民的朋友”的资助者、“民主和知识自由美国委员会全国执委会”会员。除”自由联盟”外，这些机构到1943-1944年都被定性为”共产主义外围组织”。

            他积极为”自由联盟”发展成员，而且总是乐意干一些最枯燥的事，譬如熬夜填写寄给几百个成员的信封的地址。朋友们注意到他被一种私人情绪所感染——“他对自己拥有的天赋、继承的财产以及与他人的隔阂怀有一种罪恶感。”

            奥本海默的一些朋友对他突然变得激进的政治行为感到反感，特别是伯克利的实验物理学家欧内斯特·劳伦斯。他常常提醒奥本海默兄弟：“你们都是这么优秀的物理学家，不应该卷入政治活动。”

            1948年11月面对《时代》的记者时，奥本海默坦然地谈到自己年轻时激进的立场。他说自己在1936年以前是”一个离政治很远的人”，后来当他在德国的亲戚要逃离纳粹的迫害时，他开始”清醒地认识到：政治也是生活的一部分。我成了一个真正的左翼人士，加入了教师工会并认识了很多共产党员朋友”，他并不为之感到惭愧，甚至认为应该参加得更早一些，因为这是”成为一个完整的人不可或缺的经历”。

            “如果不是这迟来却不可或缺的一课，我根本不可能在洛斯阿拉莫斯完成我的使命。”

            红色的私人生活

            到1939年底，奥本海默和简长达三年的恋情走到尽头。不久，奥本海默在一个朋友的花园派对上认识了姬蒂·哈里森。

            29岁的姬蒂当时已有过三段婚史。她曾与第二任丈夫、共产党员乔·达莱度过几年艰苦的革命生活。西班牙内战爆发后，达莱为参加反法西斯战争来到欧洲，不久就在西班牙战场上牺牲了。27岁的姬蒂成了一名共产党战斗英雄的遗孀，两人的通信被党组织结集出版为《西班牙来信》。1938年，她回到美国，在宾夕法尼大学读植物学，又迅速嫁给了英俊的实习医生哈里森，跟着第三任丈夫来到加州。

            现在，她被这个有着一双蓝色眼睛的物理学家迷住了。奥本海默邀请她一起到新墨西哥州农场度假。旅行结束后，姬蒂发现自己怀孕了。奥本海默找哈里森摊牌，达成共识，然后和姬蒂仓促结婚。

            奥本海默的不少朋友、亲戚对姬蒂的评价很负面，认为她强势、果断、好斗，很情绪化，反复无常，有一种无情的、强烈的折磨身边人的倾向。她还有严重的酗酒问题，常常从中午开始，一直喝到晚上，引发了许多事故。但奥本海默一直以平静和忍耐应对妻子的自毁倾向​‍‌‍​‍‌‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌​‍​‍​‍‌‍​‍​‍​‍‌‍‌‍‌‍‌‍​‍‌‍​‍​​‍​‍​‍​‍​‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍‌‍‌‍‌‍​。他为她找过心理医生，后来他告诉一位朋友：他已经决定睁开双眼，接受现实。

            

            另一方面，奥本海默很依赖她。是姬蒂身上战士一般的斗志激励着他一路向前，完成以他原本个性无法完成的使命，

            在冷战和麦卡锡主义兴盛的时代，奥本海默的前女友，他的妻子和妻子的前夫，都是他个人档案上的红色惊叹号。

            ” 还有更加紧迫的任务”

            1941年12月6日晚，奥本海默照例参加一个为西班牙内战士兵募款的活动。第二天，他得知日本偷袭了珍珠港，然后意识到：“我已经为西班牙的事业做得够多了，其实世界上还有其他更加紧迫的危机。”

            这是有所指的。两个月前，他给好友劳伦斯写了一张便条，向他保证：自己已结束工会活动，“你现在可以忘了这件事。”当时，用回旋加速器来设计分离铀同位素工艺的劳伦斯已经在参与和原子弹相关的国家项目，他一心想把奥本海默带入这个项目。

            最早推动美国政府进行原子弹研究的，是核物理学家利奥·西拉德。1939年，在二战爆发一个月前，他给罗斯福总统写了一封信，并说服爱因斯坦和他联署。他在信里警告说，某种新型的、威力极大的炸弹可能会出现，并暗示德国人已经在研究了。收到信后，罗斯福下令成立”铀委员会”。

            两年后的1941年，政府新成立的”科研和发展办公室”主管万尼瓦尔·布什读到一份”用铀制造炸弹”的英国秘密报告，该报告预测这种炸弹两年内就可能研制出来。他随后向罗斯福提交一份备忘录说：原子弹爆炸的威力有炸弹的成千上万倍，它的作用将会是决定性的。

            罗斯福立刻把”铀委员会”升级为一个直接向白宫汇报的小组，代号为”S-1”。委员会成员包括副总统亨利·华莱士、战争部长亨利·史汀生、总参谋长乔治·马歇尔、哈佛大学校长詹姆斯·科南特。科南特担任该委员会的主席，与布什一起利用政府的巨大资源，在全美范围为核弹项目招募科学家。

            

            1942年5月，奥本海默高兴地得知他被正式任命为”S-1委员会”快中子研究项目主任，头衔是”速裂协调人”。那年夏天，他组织了一个被重重保护起来的研讨会，与会者都是全美顶尖的理论物理学家，他们一起讨论原子弹的基本结构。奥本海默之后起草了研讨会的总结报告，结论是：原子弹制造在总体上可行，但需要组织大规模的科技和工业资源。谁会是领导这个秘密武器实验基地最有可能的负责人呢？

            布什和科南特都认为奥本海默是最佳人选，他在整个夏天的表现让他们更坚信这点。但是，军方对奥本海默依然不信任。1942年初，他就填写过一份安全问卷调查，列举他参加过的组织，其中一些被认为是共产党的外围组织。

            跟德国赛跑研制原子弹的紧张氛围，加上布什和科南特反复的努力沟通和推动，让陆军部最终通过了奥本海默和其他一些有左翼倾向的科学家的”安全许可”。

            最关键的是，奥本海默被军方派出的负责人格罗夫斯将军一眼相中。除了”是个真正的天才”以及有跨学科解决问题的认识之外，格罗夫斯最被吸引的是奥本海默身上那种”自负的野心”。在巡回考察全美相关实验室后，他向军事政策委员会正式提名奥本海默为领导这一秘密武器实验基地的人选。

            当时，这个决定遭到了大部分人的反对——他们都认为奥本海默缺乏领导一大批人的经验；而且，他是个理论物理学家，制造原子弹需要的是实验物理学家和工程师的技能。一位熟悉他的物理学家直白地说：“奥本海默连个汉堡摊都经营不了。”

            但格罗夫斯相信自己的判断。此后，他俩亦敌亦友地合作了四年多。

            现代盗火者

            1942年，38岁的奥本海默被正式任命为研制秘密武器实验室的负责人，这是后来广为人知的”曼哈顿计划”的核心部分。

            在奥本海默的建议下，实验基地选址在他所热爱的新墨西哥州大沙漠——被沙漠和山脉包围着的洛斯阿拉莫斯。奥本海默招募了当时最一流的科学家团队，包括已大名鼎鼎的汉斯·贝特、日后成为”氢弹之父”的爱德华·泰勒、年轻的理查德·费曼等。在好友、物理学家伊西多·拉比的提议下，他说动普林斯顿整个理论物理部门二十多名科学家全部搬到了洛斯阿拉莫斯。

            熟悉奥本海默的人们发现：他从一个行为古怪、头发长长、我行我素的理论物理学家、左翼知识分子，快速地变成一个一流的、充满魅力的组织管理者，高效地指挥着一个庞大的”工业企业”。

            到1943年3月，实验基地有100名科学家、工程师以及后勤保障人员，一年后有3500人生活在这个基地。仅封闭地区就有37栋建筑，包括一个钚提纯工厂、一个铸造厂、一个图书馆、一个礼堂，还有几十间实验室、仓库和办公室。整个基地被铁网包围着，由军人看守，仅允许配送车每天从外面运来食品和生活用品，内部有医院，每周礼堂放两场电影。

            基地严格的军管和隔离的制度，与崇尚开放、自由思想的科学家时有冲撞。

            一开始，奥本海默屈从了格罗夫斯将军的提议——让实验室里所有的科学家成为现役军人，他自己也穿上了一套量身定做的中校军服。这招致了科学家们的抵制，最终双方达成折衷方案：在实验室工作时，科学家保持平民身份；但到了武器测试阶段，每个人都要穿上军队制服。

            第一次管理危机是实验基地副主管爱德华·康登引发的。1943年，奥本海默去芝加哥大学与冶金实验室主任康普顿讨论了钚的生产计划——这让格罗夫斯十分生气，他冲进奥本海默的办公室，与奥本海默、康登对峙。康登坚持自己的立场，一周后提交辞呈，“如果我们为了保密协定而不和康普顿那样的人见面，那么我只能说这项计划的科研只有死路一条。”

            奥本海默大部分时间都和陆军部妥协着，他知道要保住这份工作就不能和军方直接起冲突。另一方面，他又清楚公开和透明对科学探索的重要性，因而对科学家们的内部交流采取了默许的态度。

            最终，在理论部主任贝特的倡议下，实验基地坚持每两周举行一次讨论会。此外，洛斯阿拉莫斯的科学家还与其他参与”曼哈顿计划”的实验室保持着联系和协调。“曼哈顿计划”最终成为一个科学的”大熔炉”，使它得以在如此短的时间内获得巨大成功​‍‌‍​‍‌‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌​‍​‍​‍‌‍​‍​‍​‍‌‍‌‍‌‍‌‍​‍‌‍​‍​​‍​‍​‍​‍​‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍‌‍‌‍‌‍​。

            奥本海默也一直努力保护科学家们不被政府的安全机构威胁和骚扰。

            1943年10月，军方安全调查员要求把物理学家塞培尔夫妇调离基地，理由是美国联邦调查局（FBI）指控他们”完全被共产主义信仰所侵蚀，而且他们所有的同事都被认定为激进分子”。最终，奥本海默以个人名义为他们对国家的忠诚做了担保。

            档案里的间谍疑云

            在洛斯阿拉莫斯，科学家们常常发现自己的私人信件有被打开的痕迹。早在奥本海默接受任命来到洛斯阿拉莫斯之前，军方的反间谍机构已经做好了全面监视他的安排。

            “希瓦利埃事件”是FBI针对奥本海默进行调查的第一起重要事件。

            1942至1943年的一个冬日，奥本海默邀请老朋友希瓦利埃夫妇到家吃饭。希瓦利埃是伯克利的法文教授，一位马克思主义知识分子。

            当奥本海默到厨房拿酒时，他跟着进来，然后聊起了他们共同认识的一个名叫埃尔滕顿、在壳牌公司工作的化学工程师。他说一名苏联驻旧金山领事馆的外交官找到了埃尔腾顿，埃尔腾顿又找到希瓦利埃，让他当中间人，想让奥本海默给出他手头有关科学工作的情报。

            奥本海默当场拒绝，说这是”叛国”。两人喝完酒，回到了夫人们身边。这一事件里每个人后来都被美国军方、FBI反复审问。

            和简·塔特洛克的恋爱关系，是奥本海默档案里另一个重要”污点”。

            1943年6月，奥本海默在一次回伯克利的时候，到旧金山和旧恋人简见面。和姬蒂结婚后，他和简还保持着每年约会两次的频率，直到他1943年参加了”曼哈顿计划”。

            军方情报机构暗中监视两人约会的整个过程：两人在一个酒吧一起吃了晚餐、喝酒，然后去了简的公寓过夜，第二天早上8点半一起离开。

            很快，奥本海默和女共产党员约会的报告就传到华盛顿。她被怀疑是奥本海默向苏联情报机构传递原子弹秘密的线人。两周后，美国西海岸反间谍机构负责人鲍里斯·帕什上尉写了一份报告给五角大楼，建议取消奥本海默的安全许可并开除他。他后来找到格罗夫斯将军的助手，告诉对方：如果不立刻开除，奥本海默很可能会入狱。

            但是，在秘密追踪两人数月后，帕什失望地发现：这些怀疑都缺乏证据。

            与奥本海默见面六个月后，简在自己的公寓里被发现自杀。从她留下的遗书和病历来看，是受抑郁症的折磨。

            简的死让奥本海默极其痛苦。他一直充当着她生命中的重要部分和精神支柱，即便两人分手以后。但自1943年起，为了他在”曼哈顿计划”的事业，他选择了远离简，无论她怎么苦苦向他发出求救信号。对生命逐渐陷于沼泽的简来说，她无疑是奥本海默参与”曼哈顿计划”的第一个牺牲品。

            FBI忙着全面监控奥本海默、监视有左翼倾向的科学家时，却忽视了真正潜伏着的苏联间谍和泄密者——英国籍德国科学家克劳斯·福克斯和哈佛毕业生特德·霍尔。到1944年，苏联从他们那里得到了许多一手的关键性情报。对这两人，无论是奥本海默、FBI还是军方的反间谍机构都毫无察觉。直到1950年，福克斯才事发被捕。

            科学家和政治

            1943年12月，一位最让奥本海默期待的人来到了基地——尼尔斯·玻尔。

            这位世界级物理学家刚刚从德国纳粹对他的追杀中曲折惊险地逃出来。此行，他带来一个重要消息：两年多前的1941年9月，在哥本哈根，他和他的得意门生、德国原子弹项目负责人海森堡会过面。海森堡隐晦地对玻尔谈到了铀的问题，以及一旦核裂变武器在理论上成为可能，会”需要大量的技术支持”，然后说他和德国的物理学家想要说服纳粹政府不要把这样的武器用在战场上。

            当玻尔把海森堡当时绘制给他的原子弹图展示出来时，奥本海默和在场的科学家们如释重负——这不是原子弹，而是一个核反应堆。德国人在这场致命武器的研发竞赛中落后了！

            玻尔之所以到来，是为了他想推动的一项政治事业。当他用哲学术语讲述原子弹项目对人类的影响时，奥本海默心领神会。玻尔认为：原子弹的制造已成现实。在将要到来的原子时代，他构想了一个富有乌托邦色彩的”开放世界”理念，以应对人类共同的危机。

            这个”新世界”存在于各国科学界彼此之间的交流中；只有在拥有科学价值的”开放世界”里，国际社会控制原子弹的设想才能成为可能；等二战结束，只有迅速邀请苏联参与到战后核能计划，这个具有国际约束力的新管理体制才能真正建立起来；如果斯大林知道了”曼哈顿计划”并确信这不会危及苏联，就可以避免战后的核军备竞赛。

            在实验基地，两人变得亲密，玻尔是唯一能和奥本海默讨论这些政治和科学伦理问题的人。接下来几年，他经常主动承担向别人解释玻尔想法的责任，人们开玩笑说：“玻尔是上帝，而奥本海默是他的先知。”

            在洛斯阿拉莫斯的科学家中，也有对奥本海默不满的。

            爱德华·泰勒是一位来自匈牙利的犹太裔物理学家，思维极为活跃，曾被奥本海默指派在理论物理部为内爆式炸弹做一系列复杂的计算工作。但他不喜欢这个工作，而是着迷于解决”超级”热核炸弹（即氢弹）的理论挑战。1943年6月，当奥本海默决定暂不优先考虑氢弹，泰勒开始罢工，经常拒绝上司贝特交给的工作，有时擅自离开部门主管的会议现场。

            同事们都认为泰勒为人傲慢无礼又喜怒无常。奥本海默时常被他搞得很恼火，但仍挽留了他，让他成立小组继续探索氢弹的可能性，每周用一小时谈论他的任何想法​‍‌‍​‍‌‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌​‍​‍​‍‌‍​‍​‍​‍‌‍‌‍‌‍‌‍​‍‌‍​‍​​‍​‍​‍​‍​‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍‌‍‌‍‌‍​。因为奥本海默认为，到最后，泰勒也许能做出某种贡献。

            但泰勒对奥本海默依然不满，认为他成了个政治家，而自己的重要性被忽视了。

            ” 我现在成了死神，诸世界的毁灭者”

            1945年7月15日下午5时30分，在一场暴风雨后，人类历史上第一颗核弹在新墨西哥州一处沙漠被引爆。奥本海默给这场试验取了一个宗教色彩很浓的代号——“三位一体”。

            奥本海默的弟弟弗兰克站在他身旁，留下了对当时的记忆。爆炸时，他抬头先看到一个火球，紧接着出现了一片不寻常的、悬在空中的云，非常明亮，呈深紫色；过了一会，爆炸的轰鸣就在远处的群山中不断回响。他认为最恐怖的是那团紫色的云伴随着黑色的放射性尘埃，它悬在空中，“你不知道它是会继续上升还是向你飘过来。”

            奥本海默后来回忆，看到那朵蘑菇云在爆炸中心冲上天空时，他想起了《薄伽梵歌》中的句子。“我们意识到世界已今非昔比了。当时有人笑，有人哭，大多数人则沉默不语……毗湿奴想要说服阿周那王子履行自己的职责，为给王子留下深刻印象，他变成多臂化身说：‘我现在成了死神，诸世界的毁灭者’”，“我想我们在不同程度上都这么认为。”

            次日早晨，奥本海默的秘书发现他被悲伤压倒了。他一边吸着烟斗，一边说”那些可怜的平民，那些可怜的平民”。

            奥本海默指的是日本平民。

            1945年5月31日，奥本海默作为科学顾问之一，参加了华盛顿决策高层的”临时委员会”的会议，议程之一是是否对日本使用原子弹。会上，他清晰地阐述了玻尔的”开放理论”，几乎说服了陆军参谋总长马歇尔，随后又被国务卿伯恩斯轻易地压倒。最终他默认了会议的决议：美国事先不会详细告知苏联”曼哈顿计划”内容，且将在事先没有警告的情况下对日本的一座城市投放原子弹。

            奥本海默后来才得知，当时美国军事情报部门已截获日本的电报——日本政府明白战争已经失败，并开始商议投降条件。而白宫想赶在苏联8月15日对日宣战前结束战争。根据8月3日国务卿助理的日记：杜鲁门总统担心，日本会先向苏联人投降。

            1945年8月6日上午8时14分，一架B-29轰炸机在日本广岛投下了一颗原子弹。

            当天下午2时，格罗夫斯给奥本海默打来电话：“我为你和你所有的同事感到骄傲。”很快，基地广播播报了这条新闻。奥本海默的第一反应是”谢天谢地，这个东西不是一个废物”。但几秒钟后，他的头脑里就全是尸横遍野的恐怖画面。

            三天后，另一颗原子弹投在长崎。在基地，厌恶、忧郁的情绪开始在科学家群体中滋长、传播。一位负责监视奥本海默的FBI特工在8月19日的报告上写道：奥本海默成了一具”焦虑的行尸走肉”。

            10月，基地的科学家们带回来有关广岛和长崎的第一批观察报告——“方圆一英里的每个人都被原子弹爆炸产生的热量迅速而严重地烧伤了……穿着条纹服装的人皮肤被烧成了条纹状……很多人以为自己很幸运，他们从废墟里爬了出来，只是受了轻微的伤……数日或几周后死于原子弹爆炸时的大量辐射……”

            奥本海默知道，从那时起，广岛和长崎上空的两朵蘑菇云将持续地折磨他的心灵。

            和魔鬼重新谈判的勇气——“我的手上都是鲜血”

            二战结束后，奥本海默成了家喻户晓的人物，这位”原子弹之父”的照片频频出现在美国报纸、杂志的封面上，他的烟斗、帽子甚至说话的腔调都成了标志性符号。

            他正在学习向另一个角色转型——作为最有名望的美国政府科学顾问，参与、影响华盛顿高层的政策，他的职务包括原子能顾问委员会主席、美国物理学会会长、哈佛大学督导会成员等。

            1945年的整个秋天，奥本海默频繁来往于基地和华盛顿，试图用他的声望影响华盛顿的官员。他带着一份有300人签名的、来自基地的宣言。那里的科学家们组成了联盟，起草了一份关于军备竞赛危机的措辞强硬的宣言：在未来的战争中不可能防住原子弹的进攻，所以必须加强国际间的合作。

            在华盛顿，这份宣言被政府”加密”，随之出台的是一份”梅-约翰逊提案”法案，法案建议重罚违反国家安全原则的人。在科学家联盟和华盛顿政客的博弈中，1946年，杜鲁门签署了已面目全非的《原子能法案》。该法案内容包括：控制核物理科学家工作的领域，基地的科学家接受更严苛的保密规定。

            在国会为新法案辩论期间，奥本海默辞去了实验基地科学主管一职。当年10月，他再次到华盛顿参加会议，向议员们阐明原子弹对国家的危险，并尖锐地批评了国务卿伯恩斯把原子弹当作国际外交资本的念头。“原子弹科学家的负罪感，是我见过的最感到震惊的事。”前副总统亨利·华莱士在日记里写道。在他的鼓励下，奥本海默争取到与杜鲁门总统会面的机会。

            后来证明这是一次十分糟糕的会面。会见中，杜鲁门愚蠢又自信地说苏联永远不会发展出核武器。沟通不畅，奥根海默在焦虑不安下说了一句让他后来万分后悔的话——“总统先生，我觉得我的手满是鲜血。”

            这果然激怒了杜鲁门。会见结束后，有人听到总统嘀咕道，“他手上有血？见鬼！他手上的血还没有我手上的一半多呢。这种事你不用到处抱怨吧。”他后来对国务卿迪安·艾奇逊说，“我再也不想看到这个婊子养的家伙。”

            

            1945年的圣诞节，奥本海默到纽约拜访了老朋友拉比。两人坐在黑暗中，一边抽着烟，一边探讨了核军备竞赛带来的威胁​‍‌‍​‍‌‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌​‍​‍​‍‌‍​‍​‍​‍‌‍‌‍‌‍‌‍​‍‌‍​‍​​‍​‍​‍​‍​‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍‌‍‌‍‌‍​。他们都认为：要成立一个真正有权力的国际原子能机构，才能控制核武器并和平使用核能；被发现秘密制造核武器的国家将面临核设施被关闭的惩罚。

            一个月后，有了令人兴奋的好消息——美苏几个国家举行的协商有了结果，会议决定成立一个联合国原子能机构。杜鲁门为此指定成立一个专门委员会来负责制定相关的控制核武器方案，由艾奇逊担任主席。

            奥本海默成为顾问小组成员。他主导了这一讨论的过程，构思并撰写了约34000字的草案。这份报告后来被称为《艾奇逊-利林塔尔报告》。然而，国务卿任命了一个拥有铀矿的华尔街金融家巴鲁克代表美国到联合国谈判，他把方案改得面目全非。他自负地认为苏联20年内都没有能力研制出原子弹，这是美国的”胜利武器”，必须保持绝对垄断。

            1946年的联合国会议上，美苏在有关控核方案上寸步不让，轮番否定对方的提案。历史上，一个阻止两个超级大国间无节制核军备竞赛的绝好机会就这样烟消云散。等后来这一领域有进展时，大量核弹头已经被制造出来了。

            1949年8月，苏联在哈萨克斯坦进行了一场秘密的原子弹爆炸试验。9天后，一架美国的侦察机在穿越太平洋上空时检测到了空中的核辐射，发现了这一事实。奥本海默很想抓住这个机会说服杜鲁门改变计划，把重点放在由国际社会控制所有核技术上。

            但杜鲁门和国会最终做出决议：一是扩大核武器生产量；二是上马氢弹研制计划，要在核武器开发上保持绝对领先于苏联的优势。

            杜鲁门的决议，让自觉被长久冷落的泰勒非常得意——属于他的时代终于到来了。等他开始为氢弹项目招募年轻科学家时，他却发现很多人因为受了奥本海默的影响，不愿去做研发大规模杀伤性核武器的工作。他对奥本海默已是深恶痛绝。

            当泰勒和军方在推动氢弹的过程中发现有来自奥本海默的巨大阻力时，他意识到只有把奥本海默的权力和影响消除掉，才能顺利发展氢弹。

            1951年，泰勒带着一连串针对奥本海默的指控来到FBI。在有关基地情况的问询中，他含沙射影地指控是奥本海默”延误了或者试图延误和阻止发展超级炸弹”。他声称：“很多人相信奥本海默受到’莫斯科的直接指令’，因而反对美国发展氢弹。”但为掩饰自己的意图，又称自己不认为奥本海默是”不忠诚的”，并将之归结为他的人格缺陷。最后，他说只要能看到奥本海默不再给政府做事，他本人”愿意做任何事”。

            在1954年的听证会，他成为唯一一个对奥本海默作出不利证词的科学家。

            从”国家英雄”到”危险分子”

            1950年，麦卡锡主义开始在美国泛滥，任何人只要贴上了”共产党员”“共产党的同情者、同路人”的标签，就会沦为政治贱民，失去工作及人身自由。

            奥本海默感受到了危险，他的弟弟弗兰克、朋友都陆续被解雇，时不时接受调查，还被取消护照和签证。但他还心存侥幸——他的社会声望也许可以保护自己，他继续努力尝试与魔鬼第二次谈判。

            1953年6月19日，他在《外交事务》上刊发了一篇经白宫审查过的演讲稿，题目是《核武器和美国政策》。奥本海默希望通过政府的”坦诚”，告诉公众真相，让美国人明白无休止的核军备竞赛既恐怖又两败俱伤，“我们（美、苏）就像一个瓶子里的两只蝎子，每一只都有杀死对方的能力，但是要以生命为赌注。”

            这直接挑战和质疑了新任国务卿杜勒斯正在鼓吹的国防原则——“大规模报复”战略，也深深激怒了刘易斯·斯特劳斯，当时他被新总统艾森豪威尔任命为美国原子能委员会主席。

            1953年，麦卡锡主义在华盛顿大行其道。国务院、国防部等政府要害部门都未能逃脱”非美活动调查委员会”的清查。在如此紧张的氛围下，艾森豪威尔批准了针对奥本海默的调查。

            斯特劳斯兴奋又耐心地铺开了一场针对奥本海默的审判。他找来FBI局长胡佛和一个名叫威廉·伯顿的前政府官员，用七个月时间精心准备了一个”清除奥本海默”的行动计划和起诉材料。

            同年12月21日，奥本海默突然被告知：他的安全许可延续碰到了非常困难的问题，有一名前政府官员写信质疑他的安全许可，总统因此命令立即展开调查。然后交给他一份文件，上面有针对他的34条指控。

            经过一整夜痛苦的思考，奥本海默决定不会主动辞去在原子能委员会的职务，他愿意面对听证委员会并回应这些指控。

            这是一次完全失去天平的”庭审”。斯特劳斯精心挑选了听证委员会的成员名单，并派出一位有过七年公诉经验的助理检察官作进攻”打手”。然后，以安全许可为借口，不让奥本海默的律师团队接触所谓的起诉证据——FBI调查奥本海默的档案材料。

            从1954年4月12日到4月16日，听证会持续了整整五天。5月23日，听证委员会以2∶1作出表决：认定奥本海默是对国家忠诚的公民，然而却是一个危险分子，因而宣布不再保留他的安全许可。

            一位叫埃文斯的听证委员会成员则提交了一份个人异议书，质疑这些所谓的证据，然后说，“我个人认为：我们不给奥本海默安全许可，是我们国家之盾上的污点。他的证人大多数是我们科学界的脊梁，他们羡慕他，敬爱他。”

            最终，原子能委员会以4∶1表决认为奥本海默是对国家忠诚的，同时又以4∶1表决认定他是个危险分子。在斯特劳斯小圈子起草的判决书中，大部分攻击的内容集中在他性格的缺陷上。

            在听证会期间，斯特劳斯团队动用了各种手段来监听、监视奥本海默和律师的交谈。他辩解说当国家安全遭受威胁之时，通常的法律和道德约束可以搁置一旁。一位参与此案的工作人员因此主动退出此案。当艾森豪威尔看完斯特劳斯发来的”阶段性战果”并回复”谢谢”后，把信烧掉了。总统不想给自己和斯特劳斯在忠诚调查中的违法行为留下任何证据。

            1960年，奥本海默和他的妻子在访问日本期间会见了日本民众

            6月初，斯特劳斯忽然宣称他把一份听证会的笔录遗失在火车上了，然后以此说服其他委员同意对外公布听证会记录。这就违反了听证委员会之前向全体证人所作出的保密承诺。

            993页、75万字的《关于J·罗伯特·奥本海默的问题》，后来成为冷战早期一份意义重大的历史文件。为了摧毁奥本海默的声名，斯特劳斯指使原子能委员会的工作人员向新闻媒体突出了最有攻击性的内容，包括奥本海默旧情人的姓名，他亲口承认和她保持的婚外情；他在研制原子弹期间知道她是共产党人仍和她约会等等。这份公布的报告也彻底暴露了麦卡锡时代的司法腐败，最终断送了斯特劳斯本人的政治前途——四年后，他在被艾森豪威尔提名为商业部长时被否决，投反对票的其中一位是来自麻省的年轻议员约翰·F·肯尼迪。

            因为这场不光彩的审判，奥本海默在美国国内和海外的声望达到了前所未有的高度。过去，人们只知道他是美国的”原子弹之父”、一位明星科学家，如今他成了如伽利略一样伟大的真理殉道者。

            282名实验基地的科学家联名致信原子能委员会，为奥本海默辩护。全美共有1100多名科学家和许多学术机构签署了一份请愿书，抗议这一裁决。

            泰勒则如愿把奥本海默”赶下了神坛”，成为美国社会的下一位明星科学家、“氢弹之父”，1957年荣登《时代》周刊封面。他持续得到了来自美国政府、军方、军工企业界的大力支持，在美苏核军备竞赛中大展身手。

            尾声

            审判结束后，奥本海默迅速地老去，他看上去十分憔悴，头发变得银白。朋友们发现：他从前身上的那股精神头和活力都消失了，就像”一只受伤的动物”，完全退回到了过去的简单生活里。

            在审判结束一个月之后，在斯特劳斯的坚持下，FBI针对奥本海默的电话监听又开始了。他和胡佛都担心奥本海默会潜逃到国外，还幻想出一个苏联人营救奥本海默的行动计划。

            1960年代，民主党重返白宫。1963年，肯尼迪政府宣布授予奥本海默”费米奖”，以表彰他在公共服务方面的贡献。肯尼迪遇刺后，12月2日的颁奖礼改由林顿·约翰逊主持。在典礼上，泰勒和奥本海默面面相对，奥本海默给出一个微笑，然后握住了对方的手。一旁的姬蒂则一脸冷峻。有一次和利林塔尔聊起”那些人”时，当谈到泰勒的名字，奥本海默平和的情绪忽然消失了，眼里闪烁着愤怒。那些伤口依然裂开着。

            1964年，奥本海默被提名诺贝尔物理学奖。但是，他的名字与投在广岛和长崎的两颗原子弹紧密相连，让委员会感到非常犹豫。

            1965年，广岛原子弹爆炸20周年，美国NBC电视台播出了一部纪录片，片中采访了奥本海默，他在镜头前面颊消瘦、眼帘下垂，回忆起”三位一体”核爆炸试验，他背诵了《薄伽梵歌》那段因他的引用而为人所知的名句——“我成了死神，诸世界的毁灭者”。记者问他如何看待有参议员建议约翰逊总统和苏联进行停止核扩散谈判，他用力吸着标志性的烟斗，说：“晚了20年。在原子弹试验后就应该完成了”。

            1965年，奥本海默被诊断为咽喉癌。辞去普林斯顿高级研究院院长之职后，他和妻子搬到了位于梅塞路上的一所房子。

            1967年2月18日，他在睡梦中去世，终年62岁。在一个暴风雨后的下午，妻子姬蒂和儿子在朋友的陪伴下，驱车到西属维京群岛圣约翰岛鹰巢湾，把装着奥本海默骨灰的盒子投进了海里，静静地看着它最终消失在海水中。

            “这就是他想要的归宿。”她说。

            （参考资料：《奥本海默传》，中信出版社；NBC1965年的纪录片；《科学家与政治：杨振宁谈奥本海默、泰勒、费米》。）

            ]]> https://www.runqinliu666.cn/2023/10/14/oppenheimer-biography/ 2023-10-14T09:57:30.000Z

            搬运自《南方人物周刊》,仅学习交流

            为了结束人类战争，他如浮士德一般，与魔鬼做交易，盗取了宙斯的雷电之火；当他还想像浮士德一样企图跟魔鬼重新谈判交易条件时——他遭到了拒绝

            ” 真是个傻瓜”

            1954年初一个周六的中午，在美国普林斯顿高等研究院的停车场里，罗伯特·奥本海默遇到了老同事爱因斯坦​‍‌‍​‍‌‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌​‍​‍​‍‌‍​‍​‍​‍‌‍‌‍‌‍‌‍​‍‌‍​‍​​‍​‍​‍​‍​‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍‌‍‌‍‌‍​。

            两人交谈了一会​‍‌‍​‍‌‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌​‍​‍​‍‌‍​‍​‍​‍‌‍‌‍‌‍‌‍​‍‌‍​‍​​‍​‍​‍​‍​‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍‌‍‌‍‌‍​。爱因斯坦直率地说奥本海默很愚蠢，他应该立刻从美国原子能委员会辞职，而不是让自己成为一场政治迫害的受害者——他已经为这个国家做了很大的贡献，如果这是美国给他的回报，他应该立刻转身而去​‍‌‍​‍‌‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍​‍‌‍​‍‌​‍​‍​‍‌‍​‍​‍​‍‌‍‌‍‌‍‌‍​‍‌‍​‍​​‍​‍​‍​‍​‍​‍​‍‌‍​‍‌‍​‍‌‍‌‍‌‍​。

            “爱因斯坦不能理解。”奥本海默回到车上，平静里带着一丝苦楚对他的秘书说。

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            2026-03-21T12:33:44.000Z yeliqin666

            落日绣帘卷，亭下水连空。知君为我新作，窗户湿青红。长记平山堂上，欹枕江南烟雨，杳杳没孤鸿。认得醉翁语，山色有无中。

            落日中卷起绣帘眺望，亭下江水与碧空相接，远处的夕阳与亭台相映，空阔无际。为了我的来到，你特意在窗户上涂上了清油的朱漆，色彩犹新。这让我想起当年在平山堂的时候，靠着枕席，欣赏江南的烟雨，遥望远方天际孤鸿出没的情景。今天看到眼前的景象，我方体会到欧阳醉翁词句中所描绘的，山色若隐若现的景致。

            一千顷，都镜净，倒碧峰。忽然浪起，掀舞一叶白头翁。堪笑兰台公子，未解庄生天籁，刚道有雌雄。一点浩然气，千里快哉风。

            广阔的水面十分明净，山峰翠绿的影子倒映其中。忽然江面波涛汹涌，一个渔翁驾着小舟在风浪中掀舞。见此不由得想起了宋玉的《风赋》，像宋玉这样可笑的人，是不可能理解庄子的风是天籁之说的，硬说什么风有雄雌。其实，一个人只要具备至大至刚的浩然之气，就能在任何境遇中都处之泰然，享受到无穷快意的千里雄风。

            ]]> https://www.runqinliu666.cn/2023/09/16/poem-shuidiaogetou/ 2023-09-16T14:07:33.000Z

            落日绣帘卷，亭下水连空。知君为我新作，窗户湿青红。长记平山堂上，欹枕江南烟雨，杳杳没孤鸿。认得醉翁语，山色有无中。

            落日中卷起绣帘眺望，亭下江水与碧空相接，远处的夕阳与亭台相映，空阔无际。为了我的来到，你特意在窗户上涂上了清油的朱漆，色彩犹新。这让我想起当年在平山堂的时候，靠着枕席，欣赏江南的烟雨，遥望远方天际孤鸿出没的情景。今天看到眼前的景象，我方体会到欧阳醉翁词句中所描绘的，山色若隐若现的景致。

            一千顷]]>

            2026-03-21T12:33:44.000Z